《基础工程》第九讲 · 扩展基础：墙下钢筋混凝土条形基础、柱下独立基础与冲切
2026-10-21 课程笔记 本课程为法语授课（Génie des fondations），术语保留原文，关键处附中文
0 本讲定位
进入 semelles élargies（扩展基础，钢筋混凝土）：
- 设计前提：截面计算用基底净反力 pj（réaction nette），不是总反力；
- 扩展基础构造要求（保护层、配筋率、台阶尺寸、插筋）；
- Exemple 3-3：墙下钢筋混凝土条形基础（五问）；
- 柱下独立基础的**冲切（poinçonnement）**验算（课件符号表 + EC2 §6.4 验算式）；
- 课堂练习 Exercice 3-4：柱下独立基础三问（20 分钟，三问各约 6～7 分钟，随后集体讲评）。
【考点】老师明确：课堂做过的这些例题题型，考试（DS）都会出现——复习以课堂例题为准。
1 设计前提：净反力 pj 与作用效应设计值
总反力 p = (Fk + Gk)/A ± M/W —— 用于地基承载力验算（特征值；EC7 验算时 ULU 作用乘分项系数 γG = 1.35、γQ = 1.5）
净反力 pj = F/A ± M/W（不含 Gk） —— 用于基础截面内力、配筋、冲切（设计值）
- 基础自重与覆土重 Gk 不产生弯矩剪力（与地基反力自相平衡），算截面内力时必须扣除；
- 冲切验算中 pj 取承载力极限状态（ULU）设计值下的基底单位面积净反力（课件按 GB 记法称"荷载效应基本组合"）；偏心受压时取边缘最大净反力 pjmax；
- 常见错误正是"该用净反力时用了总反力、该用设计值时用了特征值"——先问一句：这一步是验算地基，还是验算截面？
2 扩展基础构造要求（课堂口述 + 例 3-3 数据）
| 项目 | 要求 |
|---|---|
| 混凝土强度 | 例 3-3 用 C20，即 EC2 的 C20/25（fck = 20 MPa）；教材给出 GB 抗拉设计值 ft ≈ 1.1 MPa 很小，EC2 中冲切/抗剪承载力由混凝土项 (100·ρl·fck)^(1/3) 控制，低强度等级同样先卡住截面高度（EC2 抗拉强度 fctm = 0.30·fck^(2/3) ≈ 2.2 MPa） |
| 钢筋 | 课件沿用中国教材牌号 HRB335，欧洲规范对应 B400/B500B（fyk = 400/500 MPa，γs = 1.15 → fyd = 348/435 MPa） |
| 保护层 enrobage | EC2 §4.4.1：名义保护层 cnom = cmin + Δdev（Δdev 建议 10 mm），cmin 按环境类别（exposition）与设计使用年限定构造等级查表，且不小于钢筋直径；课件数值——有混凝土垫层 ≥ 40 mm（例 3-3 取 50 mm）、无垫层 ≥ 70 mm——为国标构造规定（GB 50007） |
| 受力钢筋直径 | ≥ 10 mm |
| 受力钢筋间距 | 100～200 mm |
| 锥形基础 | 边缘高度 ≥ 200 mm，两方向坡度 ≤ 1/3 |
| 阶梯形基础 | 每阶高度 300～500 mm |
| 独立基础长短边之比 | 宜在 1.5～3 之间（课堂口述） |
| 柱与基础分开浇筑时 | 柱筋必须锚入基础（插筋 attentes），搭接/锚固长度按规范 |
| 肋形基础 | 注意肋的净距，兼顾模板经济与配筋构造 |
- 有效高度（课件记 h₀，EC2 记 d）：
h₀ = h − 保护层 − Ø/2 （Ø 为受力筋直径）
【易错】h₀ 不是 h。冲切、抗剪、抗弯全部用 h₀（EC2：d）；保护层取 40 还是 50 还是 70，按课件取决于有无垫层与题给条件（国标值）；按 EC2 则要先定环境类别与设计使用年限。
3 Exemple 3-3：墙下钢筋混凝土条形基础（semelle filante sous mur）
3.1 已知条件（投影原题）
| 项目 | 数值 |
|---|---|
| 工业厂房墙下钢筋混凝土条形基础 | 墙厚 240 mm，墙底有一皮挑出砖层（lit de briques en débord） |
| 上部结构传至基础顶面 | N = 300 kN/m，M = 28.0 kN·m/m |
| 地基决定的基础宽度 | b = 2.0 m |
| 材料 | C20 混凝土，HRB335 钢筋，保护层 50 mm |
求： (1) 计算截面 I 距基础边缘的距离；(2) 该截面剪力设计值；(3) 按抗剪确定基础高度；(4) 该截面弯矩设计值；(5) 每米底板主要受力钢筋截面面积。
3.2 基底净反力（先决数据）
e = M/N = 28.0/300 = 0.093 m < b/6 = 0.333 m → 全截面受压，梯形分布
pjmax = N/b + 6M/b² = 300/2.0 + 6×28.0/4 = 150 + 42 = 192 kPa
pjmin = 150 − 42 = 108 kPa
（条形基础取单宽 l = 1 m；净反力不含 G。）
3.3 五问的解法链
(1) 截面 I 的位置。 墙下条形基础的控制截面在墙（含底部挑出砖层）边缘：
b₁ = (b − b₀′)/2，b₀′ = 墙底实际宽度（240 + 2×挑出尺寸）
若不计挑出，b₁ = (2000 − 240)/2 = 880 mm；挑出砖层使有效墙底加宽，b₁ 相应减小。
(2) 截面剪力设计值。 取截面以外悬挑部分的净反力合力（梯形分布）：
V = b₁·(pjmax + pj₁)/2，pj₁ = 截面 I 处净反力（线性插值）
(3) 抗剪定高度。
课件（国标记法）：V ≤ 0.7·βhp·ft·b·h₀ → h₀ ≥ V/(0.7·βhp·ft·b) → h = h₀ + 保护层 + Ø/2
EC2 §6.2.2（无腹筋构件）：VEd ≤ VRd,c
VRd,c = [ CRd,c·k·(100·ρl·fck)^(1/3) + 0.15·σcp ] · k·d·bl ≥ (vmin + 0.15·σcp) · k·d·bl
（CRd,c = 0.18/γc；k = 1 + √(200/d) ≤ 2.0；ρl ≤ 0.02；vmin = 0.035·k^(3/2)·fck^(1/2)；条形基础取 bl = b = 1 m 单宽）
- EC2 路线里 ρl 要等配筋定了才知道、d 要等保护层按环境类别定了才知道——课件未给出这两项，故课堂这一步按 GB 公式定高，EC2 校核在配筋完成后回代（符号验算）。
(4) 截面弯矩设计值。 悬臂对截面 I 取矩（梯形荷载）：
M₁ = b₁²·(2·pjmax + pj₁)/6
（均布时退化为 M = pj·b₁²/2。）
(5) 配筋（EC2 §6.1，ULU）。
K = MEd / (b·d²·fcd) z = d·[0.5 + √(0.25 − K/2)] ≤ 0.95d As = MEd / (z·fyd)
fcd = αcc·fck/γc（γc = 1.5，法国取 αcc = 1.0 → C20/25：fcd ≈ 13.3 MPa） fyd = fyk/γs（γs = 1.15）
- 课件（国标记法）把内力臂近似取 0.9·h₀：As = M₁/(0.9·fy·h₀)——与 EC2 公式同构（0.9·h₀ ↔ z，fy ↔ fyd），EC2 的 z 由 K 算出、上限 0.95d；
- 最小配筋：课堂口述 0.2% 配筋率；EC2 依据为 §7.3.2(3) 式 (7.1)：As,min = 0.26·(fctm/fyk)·bt·d ≥ 0.0013·bt·d；间距 100～200 mm。
【课堂练习】例 3-3 的五个小问就是考试给分点：位置 → 剪力 → 高度 → 弯矩 → 配筋，顺序不能颠倒（高度未定就没有 h₀ 算配筋）。
【易错】插值求 pj₁ 用线性：pj₁ = pjmin + (pjmax − pjmin)·b₁/b。方向弄反会把压力代成拉力侧的值。
4 柱下独立基础：冲切验算（poinçonnement）
4.1 破坏形态
- 柱头"冲孔"式穿过基础：斜裂缝自基底向上开展，绕柱形成一个四面（锥形）破坏面；
- 属脆性破坏，没有明显预兆 → 必须靠足够的 h₀ 与必要的台阶来防住；
- 与弯裂（垂直裂缝、从基底受拉面起）不同：冲切是斜截面问题。
4.2 验算公式与符号（课件所给，国标记法）
Fl ≤ 0.7·βhp·ft·am·h₀
| 符号 | 含义（投影原文归纳） |
|---|---|
| βhp | 受冲切承载力截面高度影响系数：h ≤ 800 mm 取 1.0；h ≥ 2000 mm 取 0.9；中间线性内插 |
| ft | 混凝土抗拉强度设计值（kPa） |
| h₀ | 基础冲切破坏锥体的有效高度（m） |
| am | 冲切破坏锥体最不利一侧的计算长度（m）：am = (at + ab)/2 |
| at | 最不利斜截面的上边长：验算柱与基础交接处取柱宽 ac；验算变阶处取上阶宽 |
| ab | 最不利斜截面在基底面积范围内的下边长 |
| pj | 相应于荷载效应基本组合的基底单位面积净反力；偏心受压时取边缘最大净反力 |
| A | 冲切截面的水平投影面积（m²） |
| Fl | 相应于基本组合、作用在 Al 上的地基土净反力设计值（kN）：Fl = pj·Al |
4.3 主导验算路线：EC2 §6.4（poinçonnement）
VEd ≤ VRd,c
VRd,c = [ CRd,c·k·(100·ρl·fck)^(1/3) + 0.15·σcp ] · u1 · d ≥ (vmin + 0.15·σcp) · u1 · d
CRd,c = 0.18/γc k = 1 + √(200/d) ≤ 2.0（d 以 mm 计） ρl = Al/(u1·d) ≤ 0.02
vmin = 0.035·k^(3/2)·fck^(1/2) u1 = 距荷载面边缘 2d 处的控制周长
- 矩形受荷面 ac × bc 的控制周长：u1 = 2(ac + bc) + 4πd（四角为半径 2d 的圆弧）；
- σcp = NEd/Ac（以压为正），由有利的轴向力产生，不利时取 0；
- 偏心/不平衡弯矩时，控制周长上的剪力设计值乘放大系数 β（EC2 §6.4.3(4)），课堂只要求知道有此修正。
两套记法的对应关系（不是简单换符号）：
| GB（课件） | EC2 | 说明 |
|---|---|---|
| h₀ | d | 有效高度，同一个量 |
| am = (at + ab)/2 | u1 | GB 取最不利斜截面的平均边长×4 边思路；EC2 直接给"距柱边 2d 的控制周长" |
| ft（混凝土抗拉强度设计值） | (100·ρl·fck)^(1/3) 项 | EC2 不用抗拉强度验冲切：承载力随 fck^(1/3) 与配筋率 ρl 增长，另有下限 vmin（无筋/少筋时的最低抗力） |
| βhp（h ≤ 800 取 1.0 / h ≥ 2000 取 0.9） | k = 1 + √(200/d) ≤ 2.0 | 都是尺寸效应系数，数值规律不同 |
| Fl = pj·Al（锥体外净反力合力） | VEd（控制周长以外净反力合力，设计值） | 同一定义，GB 称"基本组合"，EC2 用 ULU 设计值 |
4.4 Al 的两种情形（课件 GB 路线）
若 l ≥ ac + 2h₀ 且 b ≥ ac + 2h₀（锥体完整落在基底内）：
Al = (l/2 − ac/2 − h₀)·b − (b/2 − bc/2 − h₀)²
若基础边长不够（锥体伸出基底）：
Al 按截断后的实际投影图形计算（课堂：分"大于/小于"两种表达式，先比较再选公式）
- 验算部位两处：柱与基础交接处、基础变阶处——at 的取值随之不同（柱宽 vs 上阶宽）。
5 Exercice 3-4：柱下独立基础（课堂练习，三问）
5.1 已知条件（投影原题）
| 项目 | 数值 |
|---|---|
| 基础尺寸 | 2200 mm × 3000 mm |
| 柱轴向力 F | 750 kN |
| 柱脚弯矩 M | 110 kN·m |
| 柱截面 | 400 mm × 400 mm |
| 混凝土 | C20 |
| 垫层 | 100 mm 素混凝土（béton maigre） |
| 基础高度 | h = 500 mm |
求： (1) 基底最大净压力（contrainte nette maximale）；(2) 验算地基极限承载力（capacité portante à la rupture de la fondation）时竖向力 F 应取的最大值；(3) 抗倾覆（résistance au renversement）验算时倾覆力矩的最大值。
5.2 第一问：基底最大净压力
A = 2.2 × 3.0 = 6.6 m²
e = M/F = 110/750 = 0.147 m < b/6 = 2.2/6 = 0.367 m → 全截面受压
W = l·b²/6 = 3.0 × 2.2²/6 = 2.42 m³（偏心沿短边方向，取最不利）
pjmax = F/A + M/W = 113.6 + 45.5 ≈ 159 kPa
pjmin = 113.6 − 45.5 ≈ 68 kPa
- contrainte nette：净压力，不含基础自重与覆土重；
- 也可用 pjmin + (pjmax − pjmin)·x/b 求任意截面处净压力（讲评时两种途径都认可：“tous les deux, vous pouvez utiliser”）。
5.3 第二问：验算 portance ultime 时 F 的取法
- 这一问验的是地基的极限承载力（capacité portante à la rupture），不是截面抗弯——作用效应要凑到 ULU 设计值：竖向合力按 DA1 放大（γG = 1.35、γQ = 1.5），基底净压力随 F 线性增长 pjmax(F) = F/A + M/W；
- 验算式（EC7 §9.5 / 第 4 讲）：V’Ed ≤ Vb,Rd = A’·[c’·Nc·… + q’·Nq·… + 0.5·γ’·b’·Nγ·…]，或法国 capacitaire 习惯 q_net;d ≤ (q_ult − σ’v0)/γR;v（γR;v = 1.4）；令等号成立即反解出可采用的 F 上限；
- 投影未给出土的强度指标（c’、φ’、γ’）与持力层埋深，这一问只能停在符号验算，代不出数值；
- 课堂要点：同一根柱的力，在"验算地基"与"验算截面"两问里取法不同——这正是本题三问的考点。
5.4 第三问：抗倾覆验算时倾覆力矩
- 抗倾覆（renversement）属 EC7 稳定性验算（ULU）：倾覆力矩取设计值，绕基底边缘某点与稳定力矩（基础自重、覆土重等）对同一点取矩比较；
- 求"可采用的最大倾覆力矩"即令 倾覆力矩设计值 = 抗倾覆能力 反解。
5.5 顺带的冲切判断（课堂讲评，课件 GB 记法）
h₀ ≈ 500 − 40 − Ø/2 ≈ 450 mm（有 100 mm 素混凝土垫层 → 保护层按课件取 40）
ac + 2h₀ = 400 + 900 = 1300 mm < 2200 mm = b → 锥体完整落在基底内，用标准 Al 公式
- 换成 EC2 记法即判断控制周长 u1 = 2(ac + bc) + 4πd 是否完整落在底面内（d ↔ h₀，2d ↔ h₀ 的锥体边线）；本题按 EC2 还需环境类别定 d、按配筋定 ρl，投影未给，故讲评用 GB 分支判据完成。
【课堂练习】Exercice 3-4 三问限时 20 分钟独立完成再讲评。题目本身数字不多，考的全是"取哪组作用效应、算哪个截面"的概念。
【考点】三问对应三个组合概念：① 基底净压力（静力，特征值/设计值随验算对象切换）② 地基极限承载力（EC7 ULU 设计值）③ 抗倾覆（稳定验算，设计值）。答错组合，后面全错。
6 复习要点总结
必背知识点：
- 净反力 pj 用于截面（弯、剪、冲切、配筋，取 ULU 设计值），总反力 p 用于地基承载力验算；冲切的 pj 偏心时取边缘最大 pjmax；课件"基本组合"= EC7/EC2 的设计值记法；
- 构造数字：保护层按 EC2 §4.4.1 取 cnom = cmin + Δdev（Δdev 建议 10 mm，cmin 查环境类别/设计使用年限）；课件值 40（有垫层，例 3-3 取 50）/70（无垫层）为国标（GB 50007）；受力筋 ≥10 mm、间距 100～200 mm；锥形边缘 ≥200 mm、坡度 ≤1/3；阶梯每阶 300～500 mm；
- 材料：C20 → C20/25（fck = 20 MPa，fcd ≈ 13.3 MPa，fctm ≈ 2.2 MPa）；课件 HRB335 对应欧洲 B400/B500B（fyd = fyk/1.15）；γc = 1.5、γs = 1.15；
- 例 3-3 五问链：b₁ → V → h（课件 V ≤ 0.7βhp·ft·b·h₀；EC2 §6.2.2 为 VEd ≤ VRd,c）→ M₁ = b₁²(2pjmax+pj₁)/6 → As：EC2 §6.1 K = MEd/(b·d²·fcd)，z = d[0.5+√(0.25−K/2)] ≤ 0.95d，As = MEd/(z·fyd)；
- 冲切：主导路线 EC2 §6.4，VEd ≤ VRd,c = [CRd,c·k·(100ρl·fck)^(1/3) + 0.15σcp]·u1·d ≥ (vmin + 0.15σcp)·u1·d；u1 = 距柱边 2d 控制周长 = 2(ac+bc) + 4πd；对应关系 h₀↔d、am↔u1、ft↔混凝土项、βhp↔k；课件 GB 公式 Fl ≤ 0.7βhp·ft·am·h₀（am=(at+ab)/2，at 柱脚取 ac、变阶取上阶宽）为对照记法；
- Al 先比较 l 与 ac+2h₀ 再选公式（GB 路线）；EC2 中即判断 u1 是否完整落在底面内；
- 柱与基础分次浇筑必须设插筋锚固。
重要案例：
- Exemple 3-3：N=300、M=28、b=2.0 → e=0.093<b/6 → pjmax=192、pjmin=108 kPa → 五问；
- Exercice 3-4：2200×3000、F=750、M=110 → contrainte nette max ≈ 159 kPa；三问考组合取值（净压力 / portance ultime / 抗倾覆）；冲切判断 ac+2h₀=1300<2200。
易错点提醒：
- 条形基础算配筋时把 Gk 留在反力里（应扣）；
- pj₁ 线性插值方向弄反；
- 冲切在变阶处仍用柱宽 ac（应取上阶宽）；
- h₀ 忘扣钢筋半径，或保护层与垫层条件不匹配；
- Exercice 3-4 第二问是地基极限承载力（capacité portante à la rupture de la fondation），不要答成截面抗弯。
可能考题形式：
- 墙下钢筋混凝土条形基础五问（例 3-3 同型，换数字）；
- 柱下独立基础：求 pjmax/pjmin + 判断冲切公式分支 + 说明各问采用哪种作用效应；
- 概念题：净反力与总反力的适用场合；EC2 冲切公式中 u1、k、ρl、σcp 的含义；课件 βhp、at、am 的取值规则。