《基础工程》第四讲 · 地基承载力与无筋扩展基础设计

2026-10-13 课程笔记 本课程以法语授课，术语保留原文（文末附中/法术语对照）

0 本讲定位

• 第二章核心概念地基承载力（portance / capacité portante）：两种取值（ultime 与 admissible）、载荷试验 p–s 曲线、确定方法，随后用两个课堂练习把无筋扩展（刚性）条形基础的设计流程走完。
• 承载力的两条平行路线：Eurocode 7 §9.5 解析法（规范路线，分项系数）与教师板书的 méthode capacitaire（法国传统法，总安全系数 FS = 3）。
• 教师承诺：考试相关的问题会用中文再讲一遍；计算只要求代公式。

【考点】“Pour assurer la résistance et la stabilité, nous devons identifier les valeurs critiques”——设计必须选对临界值：portance ultime 与 portance admissible 是两个不同的值，不能混用。

1 两种承载力：portance ultime 与 portance admissible

联系（教师板书，capacitaire 法）：

q_adm = q_ult / FS，安全系数 FS = 2 ~ 3（教师取 3）

Eurocode 7 中的对应位置——设计验算把特征抗力除以抗力分项系数：

V'Ed ≤ Vb,Rd，Vb,Rd = Vb,Rk / γR;v（DA1 中 γR;v = 1.4）

• 一个是总安全系数（FS），一个是分项系数（γR;v），两套数值体系不得混在同一条验算里。
• admissible 的定义（课堂原话框架）：既维持地基稳定、又让建筑物正常使用（不开裂、倾斜可控）所允许的压力。
• 两条取值原则：① 强度（不发生失稳破坏）；② 变形（沉降允许）——承载力不是纯强度问题。

2 载荷试验 p–s 曲线与三个特征压力

现场载荷试验（essai à la plaque / in-situ）：在基础底面位置分级加载，记录每级荷载下稳定后的沉降 s，绘 p–s 曲线。曲线上三个值必须分清：

• 三阶段：Ⅰ 压密（弹性、可恢复）→ Ⅱ 局部剪切（端部塑性区开展）→ Ⅲ 整体破坏。
• 容许承载力的试验定法：取比例界限 pa 附近；或 q_ult/FS（FS = 2~3）并满足变形要求。
• 教师板书的对照：载荷试验是"小尺寸、浅埋"的响应；在 EC7 体系里，宽度效应含在 0.5·γ′·b′·Nγ 项、深度效应含在基底超载 q′ 与深度系数里，不需要另行"修正"（§4）。

3 确定承载力的三条途径

① 现场试验：载荷试验（essai à la plaque）、旁压试验（essai pressiométrique，法国标准途径）
② 理论公式：q_ult / FS（Brinch-Hansen、Meyerhof 等极限平衡公式）
③ 经验表格 / 当地经验：查表得经验值（课件沿用中国教材表格值 fak）

• 城市老工程区：场地已有大量建筑与勘察历史，可直接借用经验值——“不是精确值，但很接近”，避免重复试验。
• 理论公式与表格之间应互相校核；教师明确"我更喜欢用第二种（理论公式），黑板上就写这个方程"。

4 承载力的解析式：EC7 §9.5 与教师的 capacitaire 法

4.1 为什么没有 GB 式的"深宽修正"

中国教材的链条是 fak → 查表修正 → fa。EC7 体系不作这种修正：埋深直接进入基底标高处有效超载 q′（= σ′v0）与深度系数，宽度直接进入 0.5·γ′·b′·Nγ 项——承载力由强度参数 c′、φ′、γ′ 一次算出。

4.2 验算式与公式（EN 1997-1 §9.5 / Annex D，Brinch-Hansen 形式）

V'Ed ≤ Vb,Rd
Vb,Rd = A′·[ c′·Nc·sc·dc·ic·bc + q′·Nq·sq·dq·iq·bq + 0.5·γ′·b′·Nγ·sγ·dγ·iγ·bγ ] / γR;v

4.3 承载力系数与三族系数（Annex D）

Nq = e^(π·tanφ′) · tan²(45° + φ′/2)        Nc = (Nq − 1)·cotφ′
Nγ = 2·(Nq − 1)·tanφ′        （基底粗糙，δ ≥ φ′/2）

（指数 m 按荷载倾斜方向由 Annex D 给出；φ′ = 0 的不排水情形另有简化。）

4.4 偏心下的有效底面尺寸

b′ = B − 2·eB        l′ = L − 2·eL        A′ = b′·l′

• eB、eL 为两个方向的作用偏心距；基底部分脱开（e > B/6）时按有效面积验算，而不是 GB 的"改尺寸直到 pmin ≥ 0"（第 5 讲 §1.2 对比）。

4.5 分项系数与设计方法（DA）

本讲用到、并在课堂核对过的数值：

• 组合方式：DA1 = (A1 + M1 + R4) 与 (A1 + M2 + R1) 两组合（亦可按 §2.4.7.3.4.2 用替代组合 A1 + M1 + R2，即 γR;v = 1.4）；DA2 = A1 + M1 + R4；DA3 = M2 + R3（作用来自结构）/ M2 + R1（作用来自地基）。
• 采用哪个 DA 由各国**国家附录（AN）**指定；法国附录同时允许传统 règles G7 路线作为等效途径（§4.6）。

4.6 教师板书的 méthode capacitaire（règles G7）

教师口头反复写的 portance ultime ÷ 安全系数，就是法国传统验算（NF P 94-261 «règles G7»，EC7 法国国家附录承认的等效途径）：

q_ult = c′·Nc + q′·Nq + 0.5·γ′·B·Nγ        （条形基底；N 系数同 §4.3）
q_adm = q_ult / FS，FS = 3

验算（净压力比较）：
q_net = q_tot − σ′v0 ≤ q_adm − σ′v0

• q_tot 为基底总压力（含基础与覆土自重），σ′v0 为基底标高处有效自重应力；两边同减 σ′v0，即"外加的净压力不超过容许净承载力"。
• 与 EC7 的关系：同一个 q_ult，传统法除以 FS = 3，EC7（DA1）除以 γR;v = 1.4——教师黑板用前者，规范条文用后者，数值不可互换。

【易错】把查表经验值（如课件的 fak = 150 kPa）直接当 q_adm 代入 EC7 验算：fak 属中国国标体系，与 q_ult/FS、Vb,Rd 不是同一套数。 【考点】Nq = e^(π·tanφ′)·tan²(45° + φ′/2) 与 q_adm = q_ult/3 是黑板上要求默写的两个式子。

5 无筋扩展（刚性）条形基础的设计流程

5.1 截面构造：形式与尺寸须符合材料模数

Forme et dimensions de la section — Les dimensions doivent respecter le module du matériau.

砖基础截面尺寸取 60 mm 的倍数（底面加宽采用台阶 retreats à redans），两种收进方式：

1. 两皮一收：自基础底面起，每两皮砖（高 120 mm）收进 1/4 砖（60 mm），各级台阶等高；
2. 两皮一收与一皮一收交替：两皮一收（120 高收 60）与一皮一收（60 高收 60）相间，重复进行。

60 mm 模数、两皮一收/交替收进、MU10 砖 M5 砂浆等属国标构造规定（GB 50007），课件沿用中国教材；欧洲的对应做法是无筋基础的压力扩散验算（受压斜撑 / “cône de pression” 惯例，如 DIN 1054），思想相同：限制台阶收进宽度与高度之比，使截面不出现显著拉应力。

5.2 底面尺寸与刚性角

底面宽度（净压力 sizing，条形基础取 1 m 墙长）：b ≥ F / (q_adm − γ̄·d)     γ̄ 取基础与回填土平均重度 20 kN/m³
刚性角条件（GB 构造规定）：每级台阶 (收进宽度)/(台阶高度) ≤ [tan α]
基底压力验算：q_tot = (F + G)/A ≤ q_adm（传统法） 或 V'Ed ≤ Vb,Rd（EC7）

• 砖（MU10 砖、M5 砂浆）刚性角允许值 [tan α] = 1.00（α = 45°），与"120 高收 60"的台阶坡度 1:1 恰好一致——构造即满足计算（此限值为 GB 50007 表格值）。

5.3 课堂练习 Exercice (1)：刚性条形基础的四步黑板法

Exercice (1)（砖砌 semelle filante rigide 设计题）的题目数据与四步完整求解归第 8 讲；本讲只保留黑板给出的方法框架：

① q_adm —— 由细砂的 c′、φ′、γ′ 与埋深算 q_ult（§4.2/§4.6），q_adm = q_ult/3；
          课件只给表格值 fak = 140 kPa、未给 c′、φ′，EC7 验算到列式为止
② b  —— b ≥ F / (q_adm − γ̄·d)，并取 60 mm 模数凑整
③ n  —— 台阶数：由 (b − b₀)/2 按每级收进 60 mm 分配，
        校核总高 H₀ ≥ (b − b₀) / (2·[tan α])
④ q_tot —— 基底平均压力验算（G 取 20 kN/m³ × A × d）

• 方法框架即答题步骤：先定 q_adm 再往下走，讲评时逐步上黑板。
• EC7 公式里底宽 b 同时出现在作用（G = γ̄·b·d）与抗力（0.5·γ′·b′·Nγ 项）两侧，加大 b 必须回到第①步整轮重算（迭代）。

5.4 例题 Exemple 3-1：砌体台阶 + 混凝土底板组合基础

已知（板书数据）： 承重砖墙下条形基础，埋深 1.5 m；墙厚 240 mm，轴心荷载 Fk = 200 kN/m；持力层粉质黏土（argile limoneuse）：γ = 17.5 kN/m³，e = 0.943，IL = 0.76，fak = 150 kPa；地下水位在基底以下。设计 maçonnerie à redans + base en béton 的组合基础。

求解按 §5.2 的流程：①由 c′、φ′ 算 q_ult、q_adm——课件给的是中国教材参数（e、IL、表格值 fak），未给 c′、φ′，故此步只能列式；②初定底宽 b；③台阶与组合截面按 60 mm 模数圆整、校核刚性角（GB 构造规定）；④复核 q_tot。逐步列式与构造落地在习题课第 6 讲重做并存档，本讲不重复解。

【必考案例】Exemple 3-1 是"组合基础"模板题：混凝土底板负责把压力扩散到地基，砌体台阶负责把 240 墙过渡到底板宽度，各自都要满足刚性角/宽高比（GB 构造规定）。

• 材料按 EC2 口径：混凝土强度等级按 EN 206 写作 C20/25 一类；设计值 fcd = αcc·fck/γc（γc = 1.5，法国 NA 取 αcc = 1.0），钢筋 fyd = fyk/γs（γs = 1.15）；课件沿用中国教材牌号 HRB335，欧洲规范对应 B400/B500B（fyk = 400/500 MPa）。

6 本讲小结

承载力主线：c′、φ′、γ′、q′ → q_ult（Annex D）→ ÷γR;v = 1.4（EC7 DA1）或 ÷FS = 3（教师）
            → 定底宽 b → 构造（刚性角、模数：GB 规定）→ 复核 q_tot

• Winkler/半空间是"变形"模型，承载力解决"强度"问题，两者在下一讲（底面压力分布与稳定验算）汇合。

7 术语对照（中 / 法）

本章主对照表（后续讲次只补新词，不重复此表）。

8 复习要点总结

必背知识点：

1. q_ult 与 q_adm 的区别；教师法 q_adm = q_ult/FS（FS = 2~3，取 3）；EC7 法 Vb,Rd = Vb,Rk/γR;v（DA1 γR;v = 1.4）。
2. p–s 曲线三个特征值 pa、pcr、pu 与三阶段。
3. 确定承载力三途径：现场试验、理论公式、经验表格/当地经验。
4. EC7 §9.5 验算式（V’Ed ≤ Vb,Rd）与 Nq = e^(π·tanφ′)·tan²(45°+φ′/2)、Nc = (Nq−1)cotφ′、Nγ = 2(Nq−1)tanφ′（基底粗糙）。
5. 偏心有效尺寸 b′ = B − 2eB、l′ = L − 2eL；q′ 与 γ′ 都用有效值（水位以下 γ′ = γsat − γw）。
6. 砖基础构造：60 mm 模数，两皮一收 / 两皮一收与一皮一收交替（GB 50007 构造规定）。
7. 刚性条形基础四步：①q_adm ②b n（台阶数）④复核 q_tot。

重要案例：

• Exemple 3-1（粉质黏土、组合基础）与 Exercice (1)（细砂、MU10+M5）：两道母题共用 §5.3 四步框架，数据与完整列式分别存档在第 6 讲与第 8 讲；两题课件数据均只给表格值 fak、未给 c′、φ′，EC7 验算列式为止。

易错点提醒：

• FS 与 γR;v 分属两套体系：q_ult/3 与 q_ult/1.4 都是"允许用的抗力"，但配套的作用取值（标准值 vs 设计值 γG=1.35/γQ=1.5）不同，不得混搭。
• 表格值 fak 不能直接当 q_adm 代入 EC7 验算。
• q′、γ′ 一律用有效值；地下水位以下 γ′ = γsat − γw。
• 砖基础尺寸不满足 60 mm 模数 → 构造不合格，即使计算通过也要改（GB 构造规定）。
• 刚性角 [tan α]=1.00 只对砖砌体（≥MU10、≥M5）成立，其他材料查表（GB 50007）。

可能考题形式：

• 计算：给 c′、φ′、γ′ 与土层剖面，列 q_ult → q_adm = q_ult/3，定 b 并选台阶数（Exemple 3-1 型；课件数据不全时列式即可）。
• 填空/选择：pa、pcr、pu 的次序与含义；FS = 2~3；γR;v = 1.4（DA1）；Nq、Nc、Nγ 表达式。
• 简答：EC7 解析法与传统 capacitaire 法的关系（同一个 q_ult，÷γR;v 与 ÷FS）；无筋基础构造为什么受台阶宽高比限制。