《基础工程》第二讲 · 地基模型深化与浅基础设计导入

2026-10-09 课程笔记

0 本讲定位

• 第一章地基模型在本讲收尾：模型分类、弹性参数、Winkler、弹性半空间体、分层总合法、非线性弹性（邓肯-张）、模型选用。第一讲 §7 只在本构层面点到为止，本讲是正式展开。
• 下课前开启第二章 浅基础：设计内容、设计步骤、设计等级、极限状态与荷载组合、基础类型。
• 第二章后半部分与第三章起，由新任教师法语授课。

【考点】Winkler 地基模型与弹性半空间体模型可能出填空：两者恰好代表线性弹性地基模型的两个极端。 【考点】地基变形条件的三个物理量——沉降量、沉降差、倾斜——在后面章节和考核中会反复出现。

1 地基与基础的设计要求（贯穿全书的三条主线）

• 地基的承载力直接决定其破坏模式（整体剪切 / 局部剪切 / 冲切刺入）。
• 变形条件里，沉降差与倾斜往往比总沉降量更控制设计（第一讲事故案例的共同教训）。
• 选用何种地基模型，取决于：建筑物荷载大小与基底压力、地基性质、基础设计形式，以及能否用已有数学方法求解、参数能否确定。

2 地基的应力状态与平面简化

平面应变的取法：

变形只发生在 x–z 平面内
y 方向应变 εy = 0 → 一切与 y 有关的应力、应变项置零
二维单元体（x–z 面）即可描述全部受力变形

• 条形基础沿墙长方向各截面受力几乎相同，故取 1 m 长度作计算单元（此思路在后面的条形基础例题中反复使用）。
• 严格意义的平面应变要求截面不沿长度变化；验槽、原位试验得到的参数用于这种简化。

3 地基模型的分类（按应力—应变关系）

• 非线性弹性模型本身不含塑性；弹塑性模型兼具塑性与卸载回弹，最真实但参数最多。
• 描述的对象：土体在应力水平、应力历史、加荷速度、时间、温度作用下的应力—应变关系（第一讲影响因素的延续）。

4 弹性模型的参数：E、μ、G、K 与刚度/柔度矩阵

4.1 三个模量各司其职

E = 2G(1 + μ) = 3K(1 − 2μ)

• 计算分析软件里参数总是成组给出：给 (E, μ) 或给 (K, G)，二者可互推；单独给 E、μ 时也要会换算。
• 土的 E、μ 不是常数，取值随应力水平变化——这正是非线性模型的入口。

4.2 刚度矩阵与柔度矩阵

{σ} = [D]{ε}   →  [D] 刚度矩阵：由应变求应力
{ε} = [C]{σ}   →  [C] 柔度矩阵：由应力求应变
[C] = [D]⁻¹

• 本构关系写成矩阵形式后，弹性地基上梁板、有限元等都从这里出发；Winkler 模型也可以写成矩阵（基床系数矩阵）形式。

5 Winkler（文克勒）地基模型

5.1 基本假定与表达式

p = k·s
p —— 基底压力；s —— 该处地基变形；k —— 基床系数（modulus of subgrade reaction）

• 把地基视为一层互不相连的弹簧：只有受荷范围压缩，弹簧之间不传剪、无应力扩散；压力作用处变形，旁边一点变形为零。
• k 的物理意义：单位变形所需的压力（量纲 kN/m³），地基越硬 k 越大。

5.2 太沙基（Terzaghi）确定 k 的方法

• 依据载荷试验的 p–s 曲线（变形—压力曲线）：
  • 曲线有初始直线段 → k 取直线段斜率；
  • 曲线无初始直线段 → 取 p 为比例极限压力、s 为该 p 值对应的沉降，k = p/s。
• p–s 曲线分三段：压密（线性）→ 局部剪切（从 a 点到 b 点变形非线性增大，基础两端先出现局部塑性区）→ 整体破坏（沉降急增）。
• 所以 k 不是常数：随应力水平、随基底位置而变；土抗剪强度越低，k 越小；相对坚硬的土 k 取值大（教材附表可查）。

5.3 优缺点与适用

适用：基底以下压缩层厚度有限、土很软（填土、软塑~流塑黏性土）、剪切强度低而局部集中变形的场合。

6 弹性半空间体模型

• 基本假定： 地基为均匀、连续、各向同性的线弹性半空间体（深度无限）。
• 求解基于弹性理论（集中力、均布荷载的地面位移解答）：地面沉降、地基附加应力都用 E 与 μ 表达；应力以"压力泡"形式向深部和外侧扩散，荷载范围外地面也会变形。
• 优点： 反映连续性与扩散性，是分层地基模型的理论基础。
• 计算值与实测出现差异的原因（课堂三点）：
  1. 土的压缩层厚度有限，不是半无限；
  2. 地基成层，即使同一土类各层性质也不同（非均质、各向异性）；
  3. 土并非严格线弹性。

7 分层总合法（地基沉降计算）

7.1 思路

在可能产生显著变形的深度内，按土的特性与应力状态分层，逐层算压缩量再叠加：

s = Σ sᵢ,   sᵢ = (e₁ᵢ − e₂ᵢ)/(1 + e₁ᵢ) · hᵢ

（e₁ᵢ 自重应力对应孔隙比，e₂ᵢ 自重+附加应力对应孔隙比，由压缩试验 e–p 曲线查取）

7.2 两种应力随深度的变化

7.3 压缩层深度（计算深度）的判定

一般土：σz ≤ 0.2σcz 的深度作为压缩层下限
软土：  σz ≤ 0.1σcz

7.4 计算步骤（课堂七步）

① 基础底面尺寸与地基剖面 → 划分土层（每层厚度不宜过大，难点所在）
② 求各分层界面处自重应力
③ 求各分层界面处竖向附加应力（查角点表叠加）
④ 按 0.2σcz（软土 0.1σcz）确定压缩层深度
⑤ 按算术平均取各层平均自重应力、平均附加应力
⑥ 逐层算压缩量 sᵢ
⑦ 叠加得最终沉降 s

• 优点： 较好反映土中应力扩散与土层成层性，结果比较符合实际。
• 缺点： 仍以弹性（e–p 曲线）本构为基础，属一维压缩的近似；分层厚度、压缩层下限靠经验准则。

8 非线性弹性模型：邓肯-张（Duncan-Chang）模型

• 常规三轴试验的 (σ₁−σ₃)–应变 关系呈双曲线，用双曲线拟合即邓肯-张模型（康纳/邓肯-张一脉，基于摩尔-库仑强度准则）。
• 双曲线写为 ε/(σ₁−σ₃) = a + b·ε 形式，参数 a、b 由试验确定（试验参数）：
  • a ≈ 初始切线模量之倒数相关，b ≈ 极限偏应力之倒数相关；
  • 割线模量 Es = σ/(ε)、切线模量 Et 都随应力水平变化，卸载用卸荷模量（加、卸、再加载曲线不重合）。
• 强度参数随围压变化：
  • 围压 σ₃ ≤ 0.8 MPa 时，黏聚力 c、内摩擦角 φ 可视为常数；
  • 高围压（σ₃ > 0.8 MPa） 时，φ（及 c）随围压增大而降低，不能再沿用低围压试验值。
• 优点： 参数可由常规三轴试验直接确定，能反映土的非线性（压硬性与剪缩）。
• 缺点： 仍不含塑性流动与剪胀的完整描述，加卸载路径处理粗糙；参数多时标定困难（呼应第一讲"模型并非越复杂越好"）。

9 地基模型的选用

9.1 需要考虑的因素

1. 地基的应力状态与土性：是否成层、软硬 → 决定用不用分层总合法/分层地基模型；
2. 荷载性质：大小、集中还是均布、偏心与否；
3. 基础与上部结构：基础形式、刚度、上部结构类型；
4. 时间效应：蠕变、固结 → 是否与时间有关；
5. 施工过程：加荷顺序、开挖、降水等对地基的影响。

9.2 选用原则

① 计算结果与实际监测相符（沉降算得准是第一位）
② 力求简单（能用线弹性不用复杂模型）
③ 具有针对性（不同问题、不同部位用不同模型）

9.3 各模型适用范围小结

9.4 参数（尤其 k）的确定途径

• 现场载荷试验（p–s 曲线定 k、定承载力）；
• 室内试验（压缩、三轴）；
• 经验值/规范表；
• 由分层总和法反算的基底平均沉降与反力关系推 k（k 与沉降分布有关，需按位置取值）。

10 第二章导入：浅基础设计

10.1 地基基础设计的内容（两部分）

地基设计：① 承载力验算（强度） ② 变形验算（正常使用） ③ 稳定验算（抗滑、抗倾、边坡）
基础设计：材料选择 → 类型选择 → 截面尺寸（平面尺寸、埋深、高度）→ 配筋与构造

• 浅基础以天然地基为主：埋置深度浅、施工（开挖、回填）区别对待深基础（桩基）。
• 方案选择考虑三要素：建筑物性质（用途、结构类型、荷载大小）、工程地质条件（地层分布）、施工条件（技术力量、设备、材料、造价）。
• 原则：满足安全前提下节约造价——优先天然地基浅基础；超百米高层、海上结构等再考虑桩基等深基础。
• 持力层＝直接承受基底压力的土层；先选持力层、按承载力定底面尺寸，再验算下卧层与变形。

10.2 设计步骤链

收集资料（勘察、建筑、结构荷载）
→ 确定基础形式与埋深（拟定方案）
→ 初步确定底面尺寸
→ 验算（承载力、变形、稳定；不满足则改尺寸/改方案重来）
→ 基础结构设计（内力、截面、配筋）
→ 施工图与施工说明

10.3 地基基础设计等级（甲、乙、丙）

• 设计时按等级确定要不要做变形验算、稳定验算的深度：甲级必须做地基变形验算并保证长期荷载下变形不致造成结构损坏。
• 水平荷载较大的高层、高耸结构，边坡上或边坡附近的建筑 → 地基稳定计算；地下水位以下、带地下室的建筑 → 抗浮验算。

10.4 极限状态与荷载组合（验算对号入座）

• 规范以概率极限状态设计法为原则：恒载、活载的取值与分项系数按规范；地基承载力用特征值 fak 这一"允许"水准的值，与结构材料的强度设计值配套使用。

10.5 基础的类型（三种分法）

• 刚性基础工作条件：所用材料（砖石、混凝土）抗压高、抗拉抗剪低，结构上靠"台阶宽高比"控制截面，一般适用于六层以下的砌体承重房屋。
• 扩展基础（钢筋混凝土）形状多样，截面与配筋都要计算——这是第二章后半与第三章的主体。

10.6 三种计算方法（按对"共同作用"的考虑程度）

11 复习要点总结

必背知识点：

1. 三条设计要求：强度（承载力）、变形（沉降量/沉降差/倾斜）、基础自身。
2. 模型三分：线弹性（卸载原路返回）、非线性弹性（曲线可逆）、弹塑性（有残余变形）。
3. 模量换算：E = 2G(1+μ) = 3K(1−2μ)；刚度矩阵 {σ}=[D]{ε} 与柔度矩阵 {ε}=[C]{σ} 互为逆。
4. Winkler：p = k·s；k＝单位变形所需压力；太沙基：有初始直线段取斜率，无则取比例极限压力对应点 k = p/s。
5. 弹性半空间假定：均匀、连续、各向同性、线弹性半空间；与实测不符的三原因。
6. 分层总合法：压缩层下限 σz ≤ 0.2σcz（软土 0.1σcz）；sᵢ = (e₁ᵢ−e₂ᵢ)/(1+e₁ᵢ)·hᵢ。
7. 邓肯-张：三轴双曲线拟合，a、b 为试验参数；σ₃ ≤ 0.8 MPa 时 c、φ 视为常数，高围压下降低。
8. 模型选用三原则：与实测相符、力求简单、具有针对性。
9. 设计等级甲乙丙的划分依据；承载力→标准组合、变形→准永久组合、基础结构→基本组合。

重要案例：

• 条形基础取 1 m 为单元的平面应变简化，是后续所有墙下条形基础计算的前提。
• 城市既有建筑的场地经验值可近似代替试验参数（“不严格但很接近”）。

易错点提醒：

• 地基模型不是越复杂越好：参数标定不了、无法求解的模型工程上不可用（与第一讲 §7 呼应）。
• Winkler 与弹性半空间是两个极端：前者无扩散、后者全扩散；别把 k 当成与应力水平无关的常数。
• 分层总合法的压缩层下限判据是 σz 与 σcz 之比（0.2 / 0.1），不是绝对值。
• 刚性基础＝无筋扩展基础，靠宽高比（刚性角）工作；柔性基础＝钢筋混凝土扩展基础，靠配筋抗拉。

可能考题形式：

• 填空：Winkler 地基模型、弹性半空间模型（代表线性模型两端）。
• 简答：地基模型选用原则；弹性半空间计算与实测差异的原因；分层总合法步骤。
• 计算：分层总合法沉降（给 e–p 数据逐层叠加）；模量换算 E↔G↔K。
• 沉降量、沉降差、倾斜三个量后续反复考。